交叉相乘法因式分解
定理:
\[ {abxy} + {adx} + {bcy} + {cd} = \left( {{ax} + c}\right) \left( {{by} + d}\right) \]
步骤:
步骤1:纵向相乘: \( \left( {ax}\right) \times \left( {by}\right) \)
步骤2:交叉相乘: \( \left( {ax}\right) \times \left( d\right) \)
步骤3:交叉相乘: \( \left( {by}\right) \times \left( c\right) \)
步骤4:纵向相乘: \( \left( c\right) \times \left( d\right) \)
步骤5:横向相加: \( \left( {{ax} + c}\right) \)
步骤6:横向相加: \( \left( {{by} + d}\right) \)
步骤7:构造乘积: \( \left( {{ax} + c}\right) \times \left( {{by} + d}\right) \) 。
\[ {5xy} + {2x} + {15y} = \left( {x + 3}\right) \left( {{5y} + 2}\right) - 6. \]
示例
(1) \( {xy} + x + y + 1 \)
(2) \( {5xy} + {2x} + {15y} \)
另一个公式
\[ \begin{matrix} & {xyz} + {xy} + {yz} + {zx} + x + y + z + 1 = \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) \end{matrix} \]
利用公式进行因式分解
以下是因式分解中常用的一组公式。
两平方差:
\[ {a}^{2} - {b}^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) \]
(1) \( a = b \) 与 \( a + b \) 具有相同的奇偶性。(2) 对于正整数 \( a \) 与 \( b, a + b > a - b \) ，_____ (3) 若 \( {a}^{2} - {b}^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) = n \) ，其中 \( n \) 为偶数，则 \( n \) 必须作为指数才能继续 两变量差的平方与和:
\[ {a}^{2} - {2ab} + {b}^{2} = {\left( a - b\right) }^{2} \]
\[ {a}^{2} + {2ab} + {b}^{2} = {\left( a + b\right) }^{2} \]
三变量和的平方:
\[ {a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} + {2ab} + {2bc} + {2ca} = {\left( a + b + c\right) }^{2} \]
两立方之差与和:
\[ {a}^{3} - {b}^{3} = \left( {a - b}\right) \left( {{a}^{2} + {ab} + {b}^{2}}\right) \]
\[ {a}^{3} + {b}^{3} = \left( {a + b}\right) \left( {{a}^{2} - {ab} + {b}^{2}}\right) \]
两变量差与和的立方:
\[ {a}^{3} + 3{a}^{2}b + {3a}{b}^{2} + {b}^{3} = {\left( a + b\right) }^{3} \]
\[ {a}^{3} - 3{a}^{2}b + {3a}{b}^{2} - {b}^{3} = {\left( a - b\right) }^{3} \]
再一个公式
\[ {a}^{3} + {b}^{3} + {c}^{3} - {3acb} = \left( {a + b + c}\right) \left( {{a}^{2} + {b}^{2} + {c}^{2} - {ab} - {bc} - {ca}}\right) \]
例题
例1. 求正整数 \( a \) 与 \( b \) 的乘积，使得 \( a > b \) 且
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = 1? \]
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(E) 6
解答:(E)。
所给方程可写成 \( b + a + 1 = {ab} \) 或
\( {ab} - a - b = 1\; \Rightarrow \;\left( {a - 1}\right) \left( {b - 1}\right) = 2 \) .
我们有 \( \left( {a - 1}\right) = 2 \) 和 \( \left( {b - 1}\right) = 1 \) 。
于是 \( a = 3 \) 和 \( b = 2 \) 。乘积为6。
例2. (1993 AMC 12) 有多少对有序正整数(m, n)
满足 \( \frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1 \) ？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 多于4
解答:(D)。
方法一(官方解答):
由于 \( \mathrm{m} \) 和 \( \mathrm{n} \) 都必须为正，因此 \( \mathrm{n} > 2 \) 且 \( \mathrm{m} > 4 \) 。因为
\[ \frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1 \Rightarrow \left( {m - 4}\right) \left( {n - 2}\right) = 8, \]
我们需要找出所有将8表示为正整数乘积的方式。
这四种方式， \( 1 \cdot 8,2 \cdot 4,4 \cdot 2 \) 和 \( 8 \cdot 1 \) ，对应于四个解
\( \left( {m, n}\right) = \left( {5,{10}}\right) ,\left( {6,6}\right) ,\left( {8,4}\right) \) 以及(12,3)。
方法二(我们的解法):
\[ \frac{4}{m} + \frac{2}{n} = 1\; \Rightarrow \;\frac{{4n} + {2m}}{mn} = 1\; \Rightarrow \;{4n} + {2m} = {mn} \Rightarrow \;m\left( {n - 2}\right) = {4n} \]
\( \Rightarrow \;m = \frac{4n}{n - 2} = \frac{4\left( {n - 2}\right) + 8}{n - 2} = 4 + \frac{8}{n - 2}. \)
由于 \( m \) 是正整数， \( n - 2 \) 必须是8的因数。
于是 \( n = 3,4,6 \) ，以及10。 \( \left( {m, n}\right) = \left( {5,{10}}\right) ,\left( {6,6}\right) ,\left( {8,4}\right) \) 和(12,3)。
例3. 三个质数(prime numbers)的乘积等于这三个质数之和的五倍，且该乘积能被5整除。求这三个质数中最大的一个。
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7(E) 11
解:(D)。
由于乘积能被5整除，这三个质数中必有一个是5。
设 \( p \) 和 \( q \) 为另外两个质数，我们有: \( {5pq} = 5\left( {p + q + 5}\right) \)
\( \Rightarrow \;{pq} - p - q + 1 = 6.\; \Rightarrow \;\left( {p - 1}\right) \left( {q - 1}\right) = 6 = 2 \times 3 = 1 \times 6. \)
若 \( p - 1 = 2 \) 且 \( q - 1 = 3,\mathrm{q} = 4 \) 不是质数，则不可能。
若 \( p - 1 = 1 \) 且 \( q - 1 = 6, p = 2 \) 且 \( q = 7 \) 。答案为7。
例4.(2015 AMC 10A)考虑所有分数 \( x/y \) 的集合，其中 \( x \) 和 \( y \) 为互质的正整数。有多少个这样的分数满足:若分子和分母同时加1，则分数值增加10%？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 无穷多个
解答:(B)。
方法一:
\[ \frac{x}{y} + \frac{10x}{100y} = \frac{x + 1}{y + 1}\; \Rightarrow \;\frac{x}{y} + \frac{x}{10y} = \frac{x + 1}{y + 1}\; \Rightarrow \;\frac{11x}{10y} = \frac{x + 1}{y + 1} \]
\[ \Rightarrow \;{11x}\left( {y + 1}\right) = {10y}\left( {x + 1}\right) \; \Rightarrow \;{xy} + {11x} - {10y} = 0 \]
\[ \Rightarrow \;\left( {x - {10}}\right) \left( {y + {11}}\right) = - {110} \]
我们知道 \( y + {11} \) 为正且 \( y + {11} \geq {12} \) 。
因此我们有 \( \left( {x - {10}}\right) \left( {y + {11}}\right) = - 1 \times {110} = - 2 \times {55} = - 5 \times {22} \) 。
情况I: \( x - {10} = - 1 \) 与 \( y + {11} = {110}\; \Rightarrow \;\left( {9,{99}}\right) \) 被忽略。
情况II: \( x - {10} = - 2 \) 与 \( y + {11} = {55}\; \Rightarrow \;\left( {8,{44}}\right) \) 被忽略。
情况III: \( x - {10} = - 5 \) 与 \( y + {11} = {22}\; \Rightarrow \;\left( {5,{11}}\right) \) 。
所以答案是B。
方法二:
\[ \frac{x}{y} + \frac{10x}{100y} = \frac{x + 1}{y + 1}\; \Rightarrow \;\frac{x}{y} + \frac{x}{10y} = \frac{x + 1}{y + 1}\; \Rightarrow \;\frac{11x}{10y} = \frac{x + 1}{y + 1} \]
\( \Rightarrow \;{11x}\left( {y + 1}\right) = {10y}\left( {x + 1}\right) \; \Rightarrow \;{xy} + {11x} - {10y} = 0 \)
\( \Rightarrow \;y = \frac{11x}{{10} - x} \Rightarrow \;y = \frac{-{11}\left( {{10} - x}\right) + {110}}{{10} - x} = \frac{{11} \times {10}}{{10} - x} - {11}. \)
我们知道 \( y > 0 \) 。因此 \( {10} - x \) 必须是10的因数。
情况I: \( {10} - x = 1\; \Rightarrow \;x = 9 \) ，且 \( y = {99} \) (被忽略)。
情况II: \( {10} - x = 2 \Rightarrow x = 8 \) ，且 \( y = {44} \) (被忽略)。
情况III: \( {10} - x = 5 \Rightarrow x = 5 \) ，且 \( y = {11} \)
所以答案是(B)。
例5.(2002 AMC 10B)求所有 \( x \) 的值，使得 \( {8xy} - {12y} + {2x} - 3 \) \( = 0 \) 对所有 \( y \) 的值均成立。
(A) \( \frac{2}{3} \) (B) \( \frac{3}{2} \) 或 \( - \frac{1}{4} \) (C) \( - \frac{2}{3} \) 或 \( - \frac{1}{4} \) (D) \( \frac{3}{2} \) (E) \( - \frac{3}{2} \) 或 \( - \frac{1}{4} \)
解答:(D)。
方法1(官方解答):
给定方程可因式分解为
\( 0 = {8xy} - {12y} + {2x} - 3 = {4y}\left( {{2x} - 3}\right) + \left( {{2x} - 3}\right) = \left( {{4y} + 1}\right) \left( {{2x} - 3}\right) \) .
要使该方程对所有 \( y \) 的值都成立，必须有 \( {2x} - 3 = 0 \) ，即 \( x = 3/2 \) 。
方法2(我们的解法):
\[ {8xy} - {12y} + {2x} - 3 = 0 \]
\[ {8xy} - {12y} + {2x} - 3 = \left( {{2x} - 3}\right) \left( {{4y} + 1}\right) \]
\[ \left( {{2x} - 3}\right) \left( {{4y} + 1}\right) = 0\text{.} \]
要使该方程对所有 \( y \) 的值都成立，必须有 \( {2x} - 3 = 0 \) ，即 \( x = 3/2 \) 。
例6. 有多少个有序整数对(x, y)满足 \( {2xy} - {3x} - y = 6 \) ？
(A) 0 (B) 4 (C) 8 (D) 6 (E) 2
解答:(C)。
我们将给定方程两边同乘以2: \( {4xy} - {6x} - {2y} = {12} \)
然后对 \( {4xy} - {6x} - {2y} \) 进行因式分解:
\( {4xy} - {6x} - {2y} = {12}\; \Rightarrow \;\left( {{2x} - 1}\right) \left( {{2y} - 3}\right) - 4 = {11} \Rightarrow \;\left( {{2x} - 1}\right) \left( {{2y} - 3}\right) = {15}. \)
于是得到
- \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = 1 \\ {2y} - 3 = {15} \end{array}\right. \) 2. \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = {15} \\ {2y} - 3 = 1\text{.} \end{array}\right. \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = - 1 \\ {2y} - 3 = - {15} \end{array}\right. \) 4. \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = - {15} \\ {2y} - 3 = - 1\text{.} \end{array}\right. \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = 3 \\ {2y} - 3 = 5 \end{array}\right. \) 6. \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = 5 \\ {2y} - 3 = 3 \end{array}\right. \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = - 3 \\ {2y} - 3 = - 5 \end{array}\right. \) 8. \( \left\{ \begin{array}{l} {2x} - 1 = - 5 \\ {2y} - 3 = - 3 \end{array}\right. \)
解得:
例7.(2000 AMC 10)设 \( A, M \) ，且 \( C \) 为非负整数，满足 \( A \) \( + M + C = {10} \) 。 \( A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + C \cdot A \) 的最大值是多少？
(A) 49 (B) 59 (C) 69 (D) 79 (E) 89
解答:(C)。
方法1(官方解法):
注意到 \( A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + C \cdot A = \left( {A + 1}\right) \left( {M + 1}\right) \left( {C + 1}\right) - (A + M + C \) \( ) - 1 = {pqr} - {11} \) ，其中 \( p, q \) 和 \( r \) 为正整数且其和为13。A
简单的情形分析表明，当 \( p, q, r \) 中的两个数为4、第三个数为5时， \( {pqr} \) 最大。因此答案为 \( 4 \cdot 4 \cdot 5 - {11} = {69} \) 。
方法2(我们的解法):
我们知道 \( {xyz} + {xy} + {yz} + {zx} + x + y + z + 1 = \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) \) 。
所以我们有
\( A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + C \cdot A + \left( {A + M + C}\right) + 1 = \left( {A + 1}\right) \left( {M + 1}\right) \left( {C + 1}\right) \)
若 \( \left( {A + 1}\right) \left( {M + 1}\right) \left( {C + 1}\right) \) 取最大值，则 \( A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + \) \( C \cdot A + \left( {A + M + C}\right) + 1 \) 取最大值或 \( A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + C \) 。 \( A \) 取最大值。
\( \left( {A + 1}\right) \left( {M + 1}\right) \left( {C + 1}\right) \) 取最大值当且仅当 \( \left( {A + 1}\right) ,\left( {M + 1}\right) \) 和 \( (C + \) 1)尽可能接近，或 \( A, M \) 和 \( C \) 尽可能接近。
由于 \( A + M + C = {10}, A = 3, M = 3 \) 和 \( C = 4 \) 。
因此 \( A \cdot M \cdot C + A \cdot M + M \cdot C + C \cdot A = 3 \times 3 \times 4 + 3 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 3 = {36} \) \( + 9 + {12} + {12} = {69}. \)
例8. 两个非零实数 \( a \) 和 \( b \) 满足 \( {ab} = a + b \) 。求 \( {ab} - \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}\right) \) 的一个可能值。
(A) -2 (B) \( - \frac{1}{2} \) (C) \( \frac{1}{3} \) (D) \( \frac{1}{2} \) (E) 2
解:(E)。
通分并将分子中的 \( {ab} \) 替换为 \( a + b \) ，得到 \( {ab} - \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}\right) = \frac{{\left( ab\right) }^{2} - {a}^{2} - {b}^{2}}{ab} = \frac{{\left( a + b\right) }^{2} - {a}^{2} - {b}^{2}}{ab} \)
\[ = \frac{{a}^{2} + {2ab} + {b}^{2} - {a}^{2} - {b}^{2}}{ab} = \frac{2ab}{ab} = 2. \]
例9. 方程 \( {x}^{2} + \left| x\right| - 6 = 0? \) 的两根之正差是多少？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 6
解答:(D)。
我们将方程 \( {x}^{2} + \left| x\right| - 6 = 0 \) 写成 \( {\left| x\right| }^{2} + \left| x\right| - 6 = 0 \) 。
接着对方程的左侧进行因式分解: \( \left( {\left| x\right| + 3}\right) \left( {\left| x\right| - 2}\right) = 0 \)
我们知道 \( \left( {\left| x\right| + 3}\right) > 0 \) ，于是得到 \( \left( {\left| x\right| - 2}\right) = 0 \Rightarrow \left| x\right| = 2\; \Rightarrow x = \pm 2 \) 。
两根的正差为4。
例10. 求一个正整数 \( x \) 的值，使得从它减去64后得到平方数，向它加上25后也得到平方数。
(A) 2000 (B) 2016 (C) 3000 (D) 2025 (E) 1936
解答:(A)。
\[ \left. \begin{array}{l} x - {64} = {n}^{2} \\ x + {25} = {m}^{2} \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;{m}^{2} - {n}^{2} = {89} \Rightarrow \;\left( {m - n}\right) \left( {m + n}\right) = {89} \]
由于89是质数且 \( m + n > m - n \) ，
\( \left. \begin{array}{l} m + n = {89} \\ m - n = 1 \end{array}\right\} \Rightarrow \;m = {45}, n = {44}. \)
\[ x = {45}^{2} - {25} = {2000} \]
例11. 有多少对(a, b)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，满足方程 \( {a}^{2} - {b}^{2} = {2016} \) ？
(A) 4 (B) 7 (C) 10 (D) 12 (E) 30
解答:(D)。
\( \left( {a - b}\right) \left( {a + b}\right) = {2016} = {2}^{5} \times {3}^{2} \times 7 \) .
我们知道 \( a + b > a - b \) 、 \( a + b \) 和 \( a - b \) 的奇偶性相同。由于2016为偶数， \( a + b \) 和 \( a - b \) 必须同为偶数。
2016有 \( (\left( {4 + 1}\right) \left( {2 + 1}\right) \left( {1 + 1}\right) = {30} \) 个偶因数和 \( \left( {2 + 1}\right) \left( {1 + 1}\right) = 6 \) 个奇因数。
这6个奇因数将与6个偶因数配对，因此我们有 \( {30} - 6 = {24} \) 个偶因数可用。 \( a + b \) 和 \( a - b \) 的对数即为 \( {24} \div 2 = {12} \) 对，于是 \( a \) 和 \( b \) 的对数也是12。
例12. 求 \( n \) ，即方程 \( {x}^{2} - {y}^{2} + {2y} = {61} \) 的所有正整数解的个数。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(E) 5
解答:(B)。
配方后得到
\[ {x}^{2} - {\left( y - 1\right) }^{2} = {60}\; \Rightarrow \;\left( {x + y - 1}\right) \left( {x - y + 1}\right) = {60}. \]
我们知道 \( x + y - 1 \geq x - y + 1, x + y - 1 \) 与 \( x - y + 1 \) 的奇偶性相同，且 \( x - y + 1 > 0 \) ，
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x + y - 1 = {30} \\ x - y + 1 = 2 \end{array} \Rightarrow \;x = {16};\;y = {15}}\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x + y - 1 = {10} \\ x - y + 1 = 6 \end{array}\; \Rightarrow \;x = 8;\;y = 3}\right. \]
因此，(x, y)的两个解为(16,15)和(8,3)。
例13. 有多少个有序三元组(x, y, z)的非负整数满足 \( 4{x}^{2} - 4{y}^{2} - {4yz} - {z}^{2} = {96} \) ？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 多于4
解答:(E)。
\[ 4{x}^{2} - 4{y}^{2} - {4yz} - {z}^{2} = {96} \Rightarrow 4{x}^{2} - \left( {4{y}^{2} + {4yz} + {z}^{2}}\right) = {96} \Rightarrow \]
\[ 4{x}^{2} - {\left( 2y + z\right) }^{2} = {96} \Rightarrow \;\left\lbrack {{2x} + \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack \left\lbrack {{2x} - \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = {2}^{5} \times 3. \]
我们知道 \( \left\lbrack {{2x} + \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack \) 大于 \( \left\lbrack {{2x} - \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack \) 且二者奇偶性相同，因此
\[ \left\lbrack {{2x} + \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = {48} \]
\[ \left\lbrack {{2x} - \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = 2 \]
\( x \) 不是整数。
\[ \left\lbrack {{2x} + \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = {24} \]
\[ \left\lbrack {{2x} - \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = 4 \]
\( x = 7 \) .
\[ \left\lbrack {{2x} + \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = {16} \]
\[ \left\lbrack {{2x} - \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = 6 \]
\( x \) 不是整数。
\[ \left\lbrack {{2x} + \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = {12} \]
\[ \left\lbrack {{2x} - \left( {{2y} + z}\right) }\right\rbrack = 8 \]
\( x = 5 \) .
当 \( x = 5,4{x}^{2} - {\left( 2y + z\right) }^{2} = {96}\; \Rightarrow \;{100} - {\left( 2y + z\right) }^{2} = {96} \)
\( \Rightarrow \;{\left( 2y + z\right) }^{2} = 4 \Rightarrow \;{2y} + z = 2 \) .
解为 \( y = 1 \) 和 \( z = 0 \) 。
当 \( x = 7,4{x}^{2} - {\left( 2y + z\right) }^{2} = {96}\; \Rightarrow \;{196} - {\left( 2y + z\right) }^{2} = {96} \)
\[ \Rightarrow \;{\left( 2y + z\right) }^{2} = {100} \Rightarrow \;{2y} + z = {10}\text{.} \]
解为 \( y = 1, z = 8;y = 2, z = 6;y = 3, z = 4;y = 4, z = 2;y = 5, z = 0 \) 。
我们得到6组非负整数三元组(x, y, z)的解。
例14. 若 \( {a}^{3} = {b}^{2},{c}^{2} = d \) 且 \( d - a = 5 \) ，其中 \( a \) 、 \( b, c \) 和 \( d \) 为正整数，求 \( b - c \) 的值。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
解答:(E)。
由于 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，设 \( {a}^{3} = {b}^{2} = {t}^{3 \times 2} = {t}^{6} \) ，可得: \( a = {t}^{2} \) 和 \( b = {t}^{3} \) 。
因此， \( d - a = 5 \) 可写成 \( {c}^{2} - {t}^{2} = 5 \) 或 \( \left( {c - t}\right) \left( {c + t}\right) = 5 \)
因5为素数(prime number)且 \( c + t > c - t \) ，故有:
\[ \left. \begin{array}{l} c + t = 5 \\ c - t = 1 \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;c = 3, t = 2. \]
\[ b - c = {2}^{3} - 3 = 5 \]
例15. (2002 AMC 10B) 有多少个正整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} - {3n} + 2 \) 为素数？
(A) 无 (B) 一个 (C) 两个 (D) 多于两个但有限
(E) 无限多个
解答:(B)。
方法1(官方解答):
若 \( n \geq 4 \) ，则 \( {n}^{2} - {3n} + 2 = \left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) \) 为两个大于1的整数之积，故非素数。
当 \( \mathrm{n} = 1,2 \) 和3时，分别得到 \( \left( {1 - 1}\right) \left( {1 - 2}\right) = 0,\left( {2 - 1}\right) \left( {2 - 2}\right) = 0 \) 和 \( \left( {3 - 1}\right) \left( {3 - 2}\right) = 2 \) 。
因此， \( {n}^{2} - {3n} + 2 \) 仅在 \( n = 3 \) 时为素数。
方法2(我们的解答):
我们知道 \( {n}^{2} - {3n} + 2 = \left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) \) 为素数当且仅当
I: \( \left( {n - 1}\right) = 1 \) 且(n - 2)为素数(prime)
\( n - 1 = 1\; \Rightarrow \;n = 2 \) 且 \( \left( {n - 2}\right) = 0 \) 不是素数。
II: \( \left( {n - 2}\right) = 1 \) 且(n - 1)为素数
\( n - 2 = 1\; \Rightarrow \;n = 3 \) 且 \( \left( {n - 1}\right) = 2 \) ，其为素数。
III: \( n - 1 = - 1 \) 且(n - 2)为负值，且 \( \left| \left( {n - 2}\right) \right| \) 为素数。
\( n - 1 = - 1 \Rightarrow n = 0 \) (此情形被忽略，因为 \( n \) 为正整数)。
IV: \( \left( {n - 2}\right) = - 1 \) 且(n - 1)为负值，且 \( \left| \left( {n - 1}\right) \right| \) 为素数。
\( \left( {n - 2}\right) = - 1 \Rightarrow n = 1 \) 和 \( \left( {n - 1}\right) = 0 \) (此情形被忽略，因为 \( n \) 为正整数)。
因此， \( {n}^{2} - {3n} + 2 \) 为素数当且仅当 \( n = 3 \) 。
例16. 有多少个整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} - {4n} - {21} \) 为素数？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 5 (E) 7
解:(C)。
我们知道 \( {n}^{2} - {4n} - {21} = \left( {n + 3}\right) \left( {n - 7}\right) \) 为素数当且仅当
I: \( \left( {n + 3}\right) = 1 \) 且(n - 7)为素数
\( n + 3 = 1\; \Rightarrow \;n = - 2. \)
\( \left( {n - 7}\right) = - 9 \) 是否为素数。
II: \( \left( {n - 7}\right) = 1 \) 且 \( \left( {n + 3}\right) \) 为素数
\( n - 7 = 1 \Rightarrow n = 8 \) 和 \( \left( {n + 3}\right) = {11} \) ，其中 \( \left( {n + 3}\right) = {11} \) 为素数。
III: \( \left( {n + 3}\right) = - 1 \) 且(n-7)为负值，且 \( \left| \left( {n - 7}\right) \right| \) 为素数。
\( n + 3 = - 1 \Rightarrow n = - 4 \) 和 \( \left| \left( {n - 7}\right) \right| = {11} \) 为素数。
IV: \( \left( {n - 7}\right) = - 1 \) 且 \( \left( {n + 3}\right) \) 为负值，且 \( \left| \left( {n + 3}\right) \right| \) 为素数。
\( n - 7 = - 1 \Rightarrow \;n = 6 \) 和 \( \left( {n + 3}\right) = 9 \) ，其中 \( \left( {n + 3}\right) = 9 \) 不是素数。
因此， \( {n}^{2} - {4n} - {21} \) 为素数当且仅当 \( n = 8 \) 和 \( n = - 4 \) 。
例17.(2005 AMC 10B 第24题)设 \( x \) 和 \( y \) 为两位整数，且 \( y \) 由 \( x \) 的数位反转得到。整数 \( x \) 和 \( y \) 满足 \( {x}^{2} - {y}^{2} = \) \( {m}^{2} \) ，其中 \( m \) 为正整数。求 \( x + y + m \) 。
(A) 88 (B) 112 (C) 116 (D) 144 (E) 154
解答:(E)。
方法一(官方解答):
由题设条件可得 \( x > y \) 。
设 \( x = {10a} + b \) 和 \( y = {10b} + a \) ，其中 \( a > b \) 。则
\( {m}^{2} = {x}^{2} - {y}^{2} = {\left( {10}a + b\right) }^{2} - {\left( {10}b + a\right) }^{2} = {99}{a}^{2} - {99}{b}^{2} = {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) . \)
由于 \( {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) \) 必须为完全平方数，
\( {a}^{2} - {b}^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) = {11}{k}^{2} \) ，其中 \( k \) 为正整数。
因 \( a \) 和 \( b \) 为不同数字，故 \( a - b \leq 9 - 1 = 8 \) 且 \( a + b \leq 9 + 8 = \)
- 于是 \( a + b = {11}, a - b = {k}^{2} \) ，且 \( k \) 为1或2。
若 \( k = 2 \) ，则 \( \left( {a, b}\right) = \left( {{15}/2,7/2}\right) \) ，这是不可能的。因此 \( k = 1 \) 且 \( \left( {a, b}\right) = (6 \) ，
5)。于是得到 \( x = {65}, y = {56}, m = {33} \) ，以及 \( x + y + m = {154} \) 。
方法二(我们的解法):
根据给定条件，可得 \( x > y \) 。
设 \( x = {10a} + b \) 且 \( y = {10b} + a \) ，其中 \( a > b \) 。则
\( {m}^{2} = {x}^{2} - {y}^{2} = {\left( {10}a + b\right) }^{2} - {\left( {10}b + a\right) }^{2} = {99}{a}^{2} - {99}{b}^{2} = {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) . \)
由于 \( {99}\left( {{a}^{2} - {b}^{2}}\right) \) 必须是一个完全平方数，故存在某个正整数 \( n \) ，使得
\[ {a}^{2} - {b}^{2} = \left( {a + b}\right) \left( {a - b}\right) = {11}{n}^{2} \tag{1} \]
注意 \( \left( {a + b}\right) \) 与(a - b)具有相同的奇偶性。
我们有以下两种情况:
情况I:
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = {11} \\ a - b = {n}^{2} \end{array}\right\} \tag{2} \]
或
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = {n}^{2} \\ a - b = {11} \end{array}\right\} \tag{3} \]
两个方程组均给出 \( a = \frac{{11} + {n}^{2}}{2} \) 。
\( n \) 为奇数，且 \( a \) 为6到9之间的数字。因此 \( 6 \leq \frac{{11} + {n}^{2}}{2} \leq 9 \Rightarrow \;1 \leq {n}^{2} \leq 7 \) 。
\( n \) 的唯一取值为1，于是 \( a = 6 \) 。将此值代入(2)，
我们得到 \( b = 5 \) 。由此得到 \( x = {65}, y = {56}, m = {33} \) ，以及 \( x + y + m = {154} \) 。
\[ \text{Case II:} \]
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = n \\ a - b = {11n} \end{array}\right\} \]
或
\[ \left. \begin{array}{l} a + b = {11n} \\ a - b = n \end{array}\right\} \]
(4) (5)
两个方程组均给出 \( a = {6n} \) 。
我们知道 \( a \) 是一个小于9的非零数字，因此 \( n = 1 \) 和 \( a = 6 \) 。
将其代入(5)，我们得到 \( b = 5 \) 。
这给出 \( x = {65}, y = {56}, m = {33} \) ，以及 \( x + y + m = {154} \) 。
问题
问题1. 所有可能的整数解的 \( y \) 坐标之和是多少？
(A) 50 (B) 64 (C) 137 (D) 151 (E) 49
问题2. 如果 \( m > n \) 且 \( m \) 不是 \( n \) 的倍数， \( m + n \) 的值是多少？ \( m \) 和 \( n \) 是方程 \( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{2}{15} \) 的正整数解。
(A) 128 (B) 54 (C) 45 (D) 32 (E) 30
问题3. 三个质数的乘积等于这三个质数之和的十一倍。求这些质数中最大的一个。
(A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11 (E) 13
问题4. (2015 AMC 10A) 函数 \( f\left( x\right) = {x}^{2} - {ax} + {2a} \) 的零点为整数。所有可能的 \( a \) 值之和是多少？
(A) 7 (B) 8 (C) 16 (D) 17 (E) 18
问题5. 有多少对有序正整数(x, y)满足 \( {2xy} + {8x} + {3y} = {2003} \) ？ \( x \) 和 \( y \) 均大于1。
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
问题6. 一个直角三角形的三边长均为正整数。若该三角形的周长与面积的数值相等，求所有可能的斜边长度之和。
(A) 17 (B) 23 (C) 28 (D) 18 (E) 2
问题7. 求 \( n \) ，即方程 \( {xyz} + {xy} + {xz} + {yz} + x + y + z = {205} \) 的所有非负整数解的个数。
(A) 9 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
问题8. 一个直角三角形的三边长均为正整数。若其中一条直角边为11，求该三角形的周长。
(A) 108 (B) 132 (C) 61 (D) 121 (E) 60
问题9. 有多少个正整数 \( a \) 使得 \( \frac{1260}{{a}^{2} + a - 6} \) 为正整数？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
问题10. 有多少对(a, b)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，满足方程 \( {a}^{2} - {b}^{2} = {2015} \) ？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
问题11. 若 \( x - {45} \) 和 \( x + {10} \) 均为完全平方数，则所有可能的正整数 \( x \) 之和是多少？
(A) 774 (B) 828 (C) 300 (D) 202 (E) 54
问题12. 有多少个可能的正整数 \( n \) 使得 \( {n}^{2} + n + 7 \) 为完全平方数？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
问题13. 有多少个非负整数 \( n \) 使得下列方程有两个整数解 \( {x}^{2} - {6x} - 4{n}^{2} - {32n} = 0 \) ？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
问题14. 若 \( {a}^{5} = {b}^{4},{c}^{3} = {d}^{2} \) 且 \( c - a = {19} \) ，其中 \( a, b \) 、 \( c \) 和 \( d \) 为正整数，求 \( d - b \) 的值。
(A) 1000 (B) 818 (C) 757 (D) 243 (E) 19
问题15. 若一个素数(prime number)的平方与一个正奇数(odd positive integer)之和为125，求该正奇数。
(A) 121 (B) 122 (C) 123 (D) 124 (E) 120
问题16. 有多少个整数值 \( x \) 使得 \( 8{x}^{2} + {2x} - {55} \) 为素数(prime)？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5
问题17. 对于多少个正整数 \( a \) ， \( {a}^{4} - 3{a}^{2} + 9 \) 是素数(prime)？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 5
解答
问题1. 解答:(D)。
方程可改写为 \( {xy} - {7x} - {7y} = 0 \) 或 \( \left( {x - 7}\right) \left( {y - 7}\right) = {49} \) 。
\[ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - 7}\right) = 1,\; - 1,\;7,\; - 7,\;{49},\; - {49} \\ \left( {y - 7}\right) = {49},\; - {49},\;7,\; - 7,\;1,\; - 1 \end{array}\right. \]
我们得到解 \( \left\{ \begin{array}{llllll} x = 8, & 6, & {14}, & {10}, & {56}, & - {42} \\ y = {56}, & - {42}, & {14}, & 0, & {81}, & 6 \end{array}\right. \)
所有正整数解的 \( x \) -坐标之和为 \( {56} + {14} + {81} = \) 151。
问题2. 解答:(D)。
我们将方程改写为 \( {2mn} = {15m} + {15n} \Rightarrow {4mn} - {30m} - {30n} = 0 \)
\( {4mn} - {30m} - {30n} + \rightarrow {225} = \left( {{2m} - {15}}\right) \left( {{2n} - {15}}\right) \)
\[ \left( {{2m} - {15}}\right) \left( {{2n} - {15}}\right) = {225} = {225} \times 1 = {75} \times 3 = {45} \times 5 = {25} \times 9 = {15} \times {15}. \]
于是有:
情况I: \( {2m} - {15} = {225} \) 且 \( {2n} - {15} = 1\; \Rightarrow \;\left( {{120},8}\right) \) 。
情况II: \( {2m} - {15} = {75} \) 且 \( {2n} - {15} = 3\; \Rightarrow \;\left( {{45},9}\right) \) 。
情况III: \( {2m} - {15} = {45} \) 与 \( {2n} - {15} = 5\; \Rightarrow \;\left( {{30},{15}}\right) \) 。
情况IV: \( {2m} - {15} = {25} \) 与 \( {2n} - {15} = 9\; \Rightarrow \;\left( {{20},{12}}\right) \) 。
\[ \text{se V:}{2m} - {15} = {15}\text{and}{2n} - {15} = {15}\; \Rightarrow \;\left( {{15},{15}}\right) \text{.} \]
唯一 \( m \) 不是 \( n \) 倍数的情形是情况IV，因此 \( m + n = {20} + {12} = {32} \) 。
问题3。解答:(E)。
设这三个质数为 \( x, y \) 与 \( z \) ，则有 \( {xyz} = {11}\left( {x + y + z}\right) \) 。
因此这三个质数中必有一个为11。设 \( z = {11} \) 。
\[ {xyz} = {11}\left( {x + y + z}\right) \; \Rightarrow \;{11xy} = {11}\left( {x + y + {11}}\right) \Rightarrow \;{xy} = x + y + {11} \]
\[ \Rightarrow \;{xy} - x - y = {11} \Rightarrow \;\left( {x - 1}\right) \left( {y - 1}\right) = {12} = 1 \times {12} \times 2 \times 6 = 3 \times 4. \]
解得 \( x = 3, y = 7;x = 7, y = 3;x = 2, y = {13};x = {13}, y = 2 \) 。
解为(3,7,11)或(2,11,13)。
问题4。解答:(C)。
设 \( m \) 与 \( n \) 为两根，由韦达定理，
\( m + n = a \) (1)
\( {mn} = {2a} \) (2)
(1) \( \div \left( 2\right) : \frac{m + n}{mn} = \frac{1}{2} \Rightarrow {mn} - {2m} - {2n} = 0\; \Rightarrow \;\left( {m - 2}\right) \left( {n - 2}\right) = 4 \) .
情况1: \( m - 2 = 4 \) 与 \( n - 2 = 1\; \Rightarrow \;\left( {6,3}\right) .a = 9 \) 。
情况2: \( m - 2 = 1 \) 与 \( n - 2 = 4\; \Rightarrow \;\left( {3,6}\right) .a = 9 \) 。
情况3: \( m - 2 = - 4 \) 与 \( n - 2 = - 1 \Rightarrow \left( {-2,1}\right) .a = - 1 \) 。
情况4: \( m - 2 = - 1 \) 与 \( n - 2 = - 4 \Rightarrow \left( {1, - 2}\right) .a = - 1 \) 。
情况5: \( m - 2 = 2 \) 与 \( n - 2 = 2\; \Rightarrow \;\left( {4,4}\right) .a = 8 \) 。
情况6: \( m - 2 = - 2 \) 与 \( n - 2 = - 2 \Rightarrow \left( {0,0}\right) .a = 0 \) 。
答案是 \( 9 - 1 + 8 + 0 = {16} \) 。C。
问题5。解答:(E)。
我们对 \( {2xy} + {8x} + {3y} \) 进行因式分解:
\[ {2xy} + {8x} + {3y} = {2003} \Rightarrow \left( {{2x} + 3}\right) \left( {y + 4}\right) - {12} = {2003} \Rightarrow \left( {{2x} + 3}\right) \left( {y + 4}\right) = {2015}. \]
由于 \( x \) 和 \( y \) 都是大于 \( 1,{2x} + 3 \geq 7 \) 的正整数，且 \( y + 4 \geq 6 \)
\[ \text{So}\left( {{2x} + 3}\right) \left( {y + 4}\right) = {2015} = {13} \times {155} = {31} \times {65}\text{.} \]
因此我们有:
\[ \text{Case 1:}{2x} + 3 = {13}\text{and}y + 4 = {155} \Rightarrow \;\left( {5,{151}}\right) \text{.} \]
\[ \text{Case 2:}{2x} + 3 = {155}\text{and}y + 4 = {13} \Rightarrow \;\left( {{76},9}\right) \text{.} \]
\[ \text{Case 3:}{2x} + 3 = {31}\text{and}y + 4 = {65} \Rightarrow \left( {{14},{61}}\right) \text{.} \]
情况4: \( {2x} + 3 = {65} \) 和 \( y + 4 = {31} \Rightarrow \left( {{31},{27}}\right) \) 。
问题6。解答:(B)。
设三边为 \( a \leq b \leq c \) 。
\[ {a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2} \tag{1} \]
\[ a + b + c = \frac{ab}{2}\; \Rightarrow \;c = \frac{ab}{2} - a - b \tag{2} \]
对(2)两边平方: \( {c}^{2} = \frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4} + {a}^{2} + {b}^{2} - {a}^{2b} - a{b}^{2} + {2ab} \) (3)
将(3)代入(1): \( {a}^{2} + {b}^{2} = \frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4} + {a}^{2} + {b}^{2} - {a}^{2b} - a{b}^{2} + {2ab} \Rightarrow \)
\[ 0 = \frac{{a}^{2}{b}^{2}}{4} - {a}^{2}b - a{b}^{2} + {2ab} \tag{4} \]
将(4)两边除以 \( {ab} : \frac{ab}{4} - a - b + 2 = 0 \Rightarrow {ab} - {4a} - {4b} + 8 = 0 \) 。然后对 \( {ab} - {4a} - {4b} \) 进行因式分解:
\( {ab} - {4a} - {4b} + 8 = 0\; \Rightarrow \;\left( {a - 4}\right) \left( {b - 4}\right) - {16} + 8 = 0 \Rightarrow \left( {a - 4}\right) \left( {b - 4}\right) = 8. \)
因此我们有
- \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = 1 \\ b - 4 = 8 \end{array}\right. \) 2. \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = 8 \\ b - 4 = 1 \end{array}\right. \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = - 1 \\ b - 4 = - 8 \end{array}\right. \) 4. \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = - 8 \\ b - 4 = - 1 \end{array}\right. \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = 2 \\ b - 4 = 4 \end{array}\right. \) 6. \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = 4 \\ b - 4 = 2 \end{array}\right. \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = - 2 \\ b - 4 = - 4 \end{array}\right. \) 8. \( \left\{ \begin{array}{l} a - 4 = - 4 \\ b - 4 = - 2 \end{array}\right. \)
解得:
\[ \left\{ {\begin{array}{l} a = 5, \\ b = {12}, \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} a = {12}, \\ b = 5, \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} a = 3, \\ b = - 4, \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} a = - 4, \\ b = 3, \end{array}\left\{ {\begin{array}{l} a = 6, \\ b = 8, \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} a = 8, \\ b = 6, \end{array}\;\left\{ \begin{array}{l} a = 2, \\ b = 0, \end{array}\right. }\right. }\right. }\right. }\right. }\right. }\right. \;\left\{ \begin{array}{l} a = 0, \\ b = 2. \end{array}\right. \]
答案是4组正整数解。
斜边的可能取值为 \( {13}\left( {5,{12},{13}}\right) \) 和 \( {10}\left( {6,8,{10}}\right) \) 。
和为 \( {13} + {10} = {23} \) 。
问题7。解答:(A)。
给定方程可写为 \( \left( {x + 1}\right) \left( {y + 1}\right) \left( {z + 1}\right) = {206} \) 。
\( {206} = 1 \times 1 \times {206} = 1 \times 2 \times {103}. \)
不失一般性，设 \( x \geq y \geq z \)
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x + 1 = {206} \\ y + 1 = 1 \\ z + 1 = 1 \end{array}\; \Rightarrow \;x = {205},\;y = 0,\;z = 0}\right. \]
\[ \left\{ {\begin{array}{l} x + 1 = {103} \\ y + 1 = 2 \\ z + 1 = 1 \end{array} \Rightarrow \;x = {102},\;y = 1,\;z = 0}\right. \]
根据对称性，我们得到所有解(x, y, z):
\( \left( {{205},0,0}\right) ,\left( {0,{205},0}\right) ,\left( {0,0,{205}}\right) \) ;
\( \left( {{102},1,0}\right) ,\left( {{102},0,1}\right) ,\left( {1,{102},0}\right) ,\left( {1,0,{102}}\right) ,\left( {0,{102},1}\right) ,\left( {0,1,{102}}\right) \) .
共有9个。
问题8。解答:(B)。
设另一条直角边为 \( x \) ，斜边为 \( y \) 。
\( {y}^{2} - {x}^{2} = {11}^{2} \Rightarrow \;\left( {y - x}\right) \left( {y + x}\right) = {121} \) .
已知 \( y > x \) ，且 \( y + x > y - x \) 。
于是有 \( \left( {y - x}\right) \left( {y + x}\right) = 1 \times {121} \) 。
因此 \( y + x = {121} \) 且 \( y - x = 1 \) 。解得: \( y = {61} \) 和 \( x = {60} \) 。
周长为 \( {11} + {60} + {61} = {132} \) 。
问题9。解答:(E)。
\[ {a}^{2} + a - 6 = \left( {a + 3}\right) \left( {a - 2}\right) \text{.} \]
因此 \( \left( {a + 3}\right) \) 与(a-2)都必须是1260的因数。 \( \left( {a + 3}\right) \)
与(a-2)的差为5。
\( {1260} = {2}^{2} \cdot {3}^{2} \cdot 5 \cdot 7 \)
差为5的因数对有 \( \left( {1,6}\right) ,\left( {2,7}\right) ,\left( {4,9}\right) ,\left( {7,{12}}\right) \) ，以及(9,14)。
于是 \( a - 2 = 1,2,4,7 \) ，以及9。因此 \( a = 3,5,6,9 \) ，或11。
问题10。解答:(D)。
\[ \left( {a - b}\right) \left( {a + b}\right) = {2015} \]
\[ \text{We know}a + b > a - b\text{.} \]
\[ \left( {a - b}\right) \left( {a + b}\right) = 1 \times {2015} = 5 \times {403} = {13} \times {155} = {31} \times {65}. \]
因此我们有
情况1:
\[ \left\{ \begin{array}{l} a - b = 1 \\ a + b = {2015} \end{array}\right. \]
解为 \( \left( {a, b}\right) : \left( {{1008},{1007}}\right) \) 。
情况2:
\[ \left\{ \begin{array}{l} a - b = 5 \\ a + b = {403} \end{array}\right. \]
解为 \( \left( {a, b}\right) : \left( {{204},{199}}\right) \) 。
情况3:
\[ \left\{ \begin{array}{l} a - b = {13} \\ a + b = {155} \end{array}\right. \]
解为 \( \left( {a, b}\right) : \left( {{84},{71}}\right) \) 。
情况4:
\[ \left\{ \begin{array}{l} a - b = {31} \\ a + b = {65} \end{array}\right. \]
解为 \( \left( {a, b}\right) : \left( {{48},{17}}\right) \) 。
所以答案是4。
问题11。解答:(B)。
\[ \left. \begin{array}{l} x - {45} = {n}^{2} \\ x + {10} = {m}^{2} \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;{m}^{2} - {n}^{2} = {55} \Rightarrow \;\left( {m - n}\right) \left( {m + n}\right) = {55} \]
由于 \( m + n > m - n \) ，我们有
\[ \left. \begin{array}{l} m + n = {55} \\ m - n = 1 \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;m = {28}, n = {27}.\;x = {774}. \]
\[ \left. \begin{array}{l} m + n = {11} \\ m - n = 5 \end{array}\right\} \; \Rightarrow \;m = 8, n = 3.\;x = {54}. \]
和为 \( {774} + {54} = {828} \) 。问题12。解答:(B)。设 \( {n}^{2} + n + 7 = {x}^{2} \) ，其中 \( x \) 为正整数。通过配方: \( {n}^{2} + n + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 7 = {x}^{2} \Rightarrow \;{\left( n + \frac{1}{2}\right) }^{2} + \frac{27}{4} = {x}^{2} \) 。
消去分母: \( {\left( 2n + 1\right) }^{2} + {27} = {\left( 2x\right) }^{2} \Rightarrow {\left( 2x\right) }^{2} - {\left( 2n + 1\right) }^{2} = {27} \)
\( \Rightarrow \left( {{2x} + {2n} + 1}\right) \left( {{2x} - {2n} - 1}\right) = {27} \)
我们知道 \( {2x} + {2n} + 1 - \left( {{2x} - {2n} - 1}\right) = {4n} + 2 > 0 \) ，且 \( {2x} + {2n} + 1 \geq 5 \)
于是我们有
情况1:
\[ \left\{ \begin{array}{l} {2x} + {2n} + 1 = {27} \\ {2x} - {2n} - 1 = 1 \end{array}\right. \]
解得 \( x = 7 \) 和 \( n = 6 \) 。
情况2:
\[ \left\{ \begin{array}{l} {2x} + {2n} + 1 = 9 \\ {2x} - {2n} - 1 = 3 \end{array}\right. \]
解得 \( x = 3 \) 和 \( n = 1 \) 。
因此答案为2。
问题13。解答:(B)。
由于该方程有两个整数解， \( \Delta = {\left( -6\right) }^{2} - 4\left( {-4{n}^{2} - {32n}}\right) = \)
\( 4\left( {4{n}^{2} + {32n} + 9}\right) \) 必须是一个平方数，或 \( 4{n}^{2} + {32n} + 9 \) 必须是一个平方
数。
于是我们有 \( 4{n}^{2} + {32n} + 9 = {m}^{2} \) ，其中 \( m \) 为正整数。
或 \( {\left( 2n\right) }^{2} + 2\left( {2n}\right) \left( 8\right) + {8}^{2} - {8}^{2} + 9 = {m}^{2} \Rightarrow {\left( 2n + 8\right) }^{2} - {55} = {m}^{2} \Rightarrow \)
\( {\left( 2n + 8\right) }^{2} - {m}^{2} = {55}\; \Rightarrow \left( {{2n} + 8 + m}\right) \left( {{2n} + 8 - m}\right) = {55} = 1 \times {55} = 5 \times {11} \) .
我们知道 \( \left( {{2n} + 8 + m}\right) > \left( {{2m} + 8 - m}\right) \) 。
于是我们有 \( {2n} + 8 + m = 5 \)
- \( \left\{ \begin{array}{l} {2n} + 8 + m = {55} \\ {2n} + 8 - m = 1\text{.} \end{array}\right. \) 2. \( \left\{ \begin{array}{l} {2n} + 8 + m = {11} \\ {2n} + 8 - m = 5 \end{array}\right. \)
解得:
\[ \left\{ {\begin{array}{l} n = {10}, \\ m = {27}, \end{array}\;\left\{ {\begin{array}{l} n = 0, \\ m = 3 \end{array}.}\right. }\right. \]
答案为2。
问题14。解答:(C)。
由于 \( a \) 和 \( b \) 为正整数，设 \( {a}^{5} = {b}^{4} = {m}^{5 \times 4} = {m}^{20} \) ，可得: \( a = {m}^{4} \) 和 \( b = {m}^{5} \) 。
设 \( {c}^{3} = {d}^{2} = {n}^{3 \times 2} = {n}^{6} \) ，可得: \( c = {n}^{2} \) 和 \( d = {n}^{3} \) 。
因此， \( c - a = {19} \) 可表示为 \( {n}^{2} - {m}^{4} = {19} \) 或 \( \left( {n - {m}^{2}}\right) \left( {n + {m}^{2}}\right) = {19} \)
由于19为素数且 \( n + {m}^{2} > n + {m}^{2} \) ，我们有: \( n - {m}^{2} = 1 \) 和 \( n + {m}^{2} = {19} \)
解 \( m \) 和 \( n \) ，得: \( m = 3 \) 和 \( n = {10} \) 。
因此， \( d = {n}^{3} = {10}^{3} = {1000} \) ，且 \( b = {m}^{5} = {3}^{5} = {243} \) 。所以 \( d - b = {1000} - {243} = \) 757。
问题15。解答:(A)。
设素数为 \( p \) ，正奇数为 \( {2n} + 1 \) ，其中 \( n \) 为正整数。
\[ {p}^{2} + {2n} + 1 = {125}\; \Rightarrow \;{p}^{2} + {2n} = {124}\text{.} \]
由于 \( {2n} \) 为偶数， \( {p}^{2} \) 必为偶数。故 \( p \) 必为2。
\[ {2}^{2} + {2n} = {124} \Rightarrow \;{2n} = {120}\; \Rightarrow \;n = {60}. \]
答案为 \( {2n} + 1 = {121} \) 。
问题16。解答:(C)。
我们已知 \( 8{x}^{2} + {2x} - {55} = \left( {{4x} + {11}}\right) \left( {{2x} - 5}\right) \) 为素数当且仅当
I: \( \left( {{4x} + {11}}\right) = 1 \) 且(2x-5)为素数
\( {4x} + {11} = 1 \Rightarrow x \) 不是整数。
II: \( \left( {{2x} - 5}\right) = 1 \) 且 \( \left( {{4x} + {11}}\right) \) 为素数
\( \left( {{2x} - 5}\right) = 1 \Rightarrow x = 3 \) 且 \( \left( {{4x} + {11}}\right) = {23} \) 是一个素数。
III: \( \left( {{4x} + {11}}\right) = - 1 \) 且 (2x - 5) 为负值，且 \( \left| \left( {{2x} - 5}\right) \right| \) 是一个素数。
\( \left( {{4x} + {11}}\right) = - 1 \Rightarrow \;x = - 3 \) 且 \( \left| \left( {{2x} - 5}\right) \right| = {11} \) 是一个素数。
IV: \( \left( {{2x} - 5}\right) = - 1 \) 且 \( \left( {{4x} + {11}}\right) \) 为负值，且 \( \left| \left( {{4x} + {11}}\right) \right| \) 是一个素数。
\( \left( {{2x} - 5}\right) = - 1 \Rightarrow \;x = 2 \) 且 \( \left( {{4x} + {11}}\right) = {19} \) 不为负。
因此， \( 8{x}^{2} + {2x} - {55} \) 仅在 \( x = 3 \) 和 -3 时为素数。
问题17。解答:(C)。
\( {a}^{4} - 3{a}^{2} + 9 = \left( {{a}^{4} + 6{a}^{2} + 9 - 9{a}^{2}}\right) = {\left( {a}^{2} - 3\right) }^{2} - {\left( 3a\right) }^{2} = \left( {{a}^{2} + 3 + {3a}}\right) \left( {{a}^{2} + 3 - {3a}}\right) \)
情况 I: \( {a}^{2} + 3 + {3a} = 1 \Rightarrow {a}^{2} + {3a} + 2 = 0 \Rightarrow \left( {a + 2}\right) \left( {a + 1}\right) = 0 \) 。
a 不是正数。
情况 II: \( {a}^{2} + 3 - {3a} = 1 \Rightarrow {a}^{2} - {3a} + 2 = 0 \Rightarrow \left( {a - 2}\right) \left( {a - 1}\right) = 0 \)
\( a = 2 \) 或 \( a = 1 \) 。
当 \( a = 2,{a}^{2} + 3 + {3a} = {13} \) (一个素数)
当 \( a = 1,{a}^{2} + 3 + {3a} = 7 \) (一个素数)
情况 III: \( {a}^{2} + 3 + {3a} = - 1 \Rightarrow {a}^{2} + {3a} + 4 = 0.a \) 不是实数。
情况 IV: \( {a}^{2} + 3 - {3a} = - 1 \Rightarrow {a}^{2} - {3a} + 4 = 0\;a \) 不是实数。
存在两个正整数 \( a \) 使得 \( {a}^{4} - 3{a}^{2} + 9 \) 为素数。